•Electrical Engineer harus mampu menganalisis dan merancang
rangkaian.
•Rangkaian Elektrik ada dimana-mana: PC, TV, Hi-Fi, jaringan
listrik, sistem telekomunikasi antar benua dan seterusnya.
•Rangkaian-rangkaian tersebut berbeda sifat dan cara
menganalisis dan mendesainnya.
•Tujuan kuliah ini memberikan pengantar teori rangkaian yang
cukup mendalam yang tak hanya dibebani pada rangkaian linear
dan rangkaian pasif saja.
•Teori rangkaian merupakan dasar untuk seluruh bidang teknik
Elektro.
•Rangkaian (fisik) elektrik : hubungan (secara fisik) antara divaisdivais
elektrik (resistor, koil, kondensator, dioda, transistor, Op
Amp, batere, transformer, motor, generator dan seterusnya).
•Tujuan teori rangkaian : menduga perilaku elektrik rangkaianrangkaian
fisik untuk memperbaiki desainnya, menekan biaya
dan memperbaiki unjuk kerjanya pada semua kondisi operasi
(pengaruh suhu, umur, kemungkinan terjadinya kondisi salah).
•Domain aplikasi teori rangkaian sangat luas : VLSI yang
berukuran kecil hingga jaringan telekomunikasi dan jaringan
listrik yang menghubungkan antar benua.
Tegangan: micro volt Mega volt
Arus : femto ampere (10-15 A) Mega ampere
Frekuensi : 0 (dc) Puluhan GHz
Daya : 10-14 W MW.
•Pembahasan teori rangkaian hanya pada perilaku elektrik suatu
rangkaian :
•Menduga dan menjelaskan (prediksi kuantitatif dan kualitatif )
tegangan dan arus pada terminal-terminal yang diukur pada
terminal divais- divais yang bersangkutan.
•Asumsi dalam analisis : lumped circuits (dimensi fisiknya
cukup kecil sehingga pada aplikasinya gelombang
elektromagnetik dapat dipropagasikan sepanjang sirkuit
seketika).
•Pada kondisi ini : pada seluruh rangkaian arus i(t) yang
melalui terminal divais manapun dan beda tegangan v(t) pada
setiap pasang terminal, pada setiap saat t terdefinisi dengan
baik.
Contoh 1 : Chip
Ambil waktu sinyal terpendek 0,1 nanodetik dan jarak terjauh
1mm.
Kecepatan gelombang elektromagnetik = kecepatan cahaya: 3x
108 m/s.
Waktu yang dibutuhakan untuk jarak 1 mm = 10-3 m / 3 x 108
m/s = 0,0033 ns. Sehingga waktu propagasi dapat diabaikan.
Rangkaian dapat dianggap bersifat lumped.
Contoh 2: Rangkaian Audio
Ambil fekuensi tertinggi f = 25 kHz, yang merupakan panjang
gelombang = c / f = 12 km. Sehingga panjang rangkaian
dapat diabaikan: rangkaian dapat dianggap bersifat lumped.

PEMODELAN DAN ELEMEN RANGKAIAN
•Divais elektrik : objek fisik di lab / pabrik
•Rangkaian fisik : diperoleh dengan menghubungkan (wire)
divais-divais elektrik.
•Model ideal : resistor : v = iR
induktor : v = L di/dt
kapasitor : i = C dv/dt
disebut elemen-elemen (pasif) rangkaian.
•Pemodelan adalah pendekatan : tergantung pada aplikasi atau
masalah yang dihadapi.
•Rangkaian : interkoneksi elemen-elemen rangkaian.
Dalam pembahasan selanjutnya digunakan rangkaian, bukan rangkaian
fisik
Node :
Penghubung dalam suatu rangkaian dimana terminal-terminal
terhubung semua.
Suatu terminal terpisah dari suatu elemen rangkaian yang tak
terhubung.
HUKUM KIRCHHOFF
Arah Referensi
Perlu referensi arah arus/polaritas tegangan dalam rangkaian karena
umumnya hal tersebut tak dapat diketahui lebih dulu.
Hukum Tegangan Kirchhoff
Untuk rangkaian yang bersifat lumped dan terhubung, maka untuk
semua pilihan node referensi, untuk semua waktu t, untuk semua
pasangan node k dan j, maka :
vk-j(t) = ek(t) – ej(t)
catatan
vj-k(t) = ej(t) – ek(t) = -vk-j

Contoh
v1-5 = e1 – e5 = e1
v1-2 = e1 – e2
v2-3 = e2 – e3
v3-4 = e3 – e4
v4-5 = e4 – e5 = e4
v5-2 = e5 – e2 = - e2
Ingat:
v4-5 +v2-4 + v5-2 = 0
Closed node sequence: 2-4-5-2; 2-3-5-2: V = 0
Loop: 1-2-3-4-5-1 : V = 0
KVL dalam Urutan Node Tertutup
Dalam semua rangkaian yang bersifat lumped dan terhubung, untuk
semua urutan node tertutup, untuk semua waktu t, jumlah aljabar dari
semua tegangan node-ke-node sepanjang node tertutup tersebut adalah
nol.
Hukum Arus Kirchhoff
Untuk semua rangkaian lumped, untuk semua bidang Gaussian,
untuk semua waktu t, jumlah aljabar semua arus yang meninggalkan
bidang Gaussian pada waktu t adalah nol.
S1 (node = kasus khusus bidang Gaussian):
i1(t) + i2(t) = 0 untuk semua t
S2 : -i1(t) + i12(t) = 0 atau i1(t) = i12(t)
S3 : i1(t) + i4(t) + i5(t) + i6(t) = 0
S4 : i3(t) + i11(t) + i8(t) + i9(t) – i6(t) – i5(t) – i4(t) = 0
S5 : i11(t) – i10(t) – i4(t) - i7(t) = 0
S6 : -i12(t) – i3(t) – i11(t) - i8(t) – i9(t) = 0
KCL untuk node
Untuk semua rangkaian lumped, untuk semua waktu t, jumlah aljabar
arus meninggalkan suatu node adalah nol.
REPRESENTASI GRAFIK RANGKAIAN
•Sifat interkoneksi rangkaian lebih mudah digambarkan secara
grafik
•Grafik tetap mempertahankan sifat-sifat interkoneksi rangkaian
tetapi meniadakan info tentang elemen-elemen rangkaian,
sehingga KVL dan KCL tetap berlalu.
•Suatu grafik G ditentukan oleh sekumpulan node {1,2, …, n } dan
sekumpulan cabang {1, 2, … n}
•Digraph (directed graph) bila ada arah pada percabangan (arah
referensi untuk arus)
Jumlah node
Jumlah node : n = 5
Jumlah cabang: b = 7
Elemen Grafik
Elemen 2-Terminal
Associated reference direction (ARD):
Arus keluar dari terminal positif atau arah panah menunjukkan arah dari
tanda + ke tanda -.
i = arus cabang elemen 2 terminal
v = tegangan (cabang) elemen 2 terminal
v(t) > 0 iff v1(t) > v2(t)
i(t) > 0 iff arus masuk melalui node 
dan meninggalkannya melalui node .
Perhitungan daya untuk ARD :
p(t) = v(t) . i(t)
(daya yang diberikan oleh sisa rangkaian pada waktu t pada elemen 2-
terminal ke elemen yang terhubung padanya)
Elemen 3-Terminal

•3 arus node
•3 tegangan •2 arus cabang
•2 tegangan cabang

KVL : v1-3 + v3-2 + v2-1 = 0
Pilih : node referensi, sehingga ada 2 tegangan yang direferensikan
secara independent :
v1 = v1-3 dan v2 = v2-3
KCL :i1 + i2 + i3 = 0, sehingga
i1 dan i2 arus independent
Representasi Digraph Lainnya
Untuk : node referensi Untuk node referensi
Elemen n-Terminal
•Ada (n – 1 ) arus cabang
•Ada (n – 1 ) tegangan cabang
Daya yang diberikan pada elemen dari luar pada waktu = t :

Grafik Rangkaian
Grafik rangkaian (Diagraph) diperoleh dengan mengganti setiap elemen
circuit dengan elemen grafiknya.
Catatan : konversi digraph ke circuit memerlukan info tentang nodenode
milik elemen 3-node.
•Jumlah cabang diagraph = 7 + (4-1) = 10
•Gunakan KVL untuk menghitung tegangan cabang vk melalui
tegangan node ei (terhadap ref):
v1 = e1 v2 = e1 – e2 v3 = e3 v4 = e2
v5 = e2 – e4 v6 = e2 – e4 v7 = e4 v8 = e4
v9 = e4 v10 = e3
(Tuliskan dalam bentuk matriks)
•Gunakan KCL pada node 1 hingga node 4:
i1 + i2 = 0
- i2 + i4 + i5 + i6 = 0
i3 + i10 = 0
- i5 - i6 + i7 + i8 + i9 = 0
(Tuliskan dalam bentuk matriks)
•Bila cabang 3 diganti short circuit, maka node 3 menyatu dengan
node 5, sehingga timbul self loop : (1 cabang dan 1 node).
2-port, Multiport & Hinged Graphs
Elemen 2-Port :
•Elemen rangkaian atau rangkaian dengan 2 pasang terminal
yang dapat diakses
•input port dan output port
•dapat memiliki banyak elemen circuit
tegangan yang diperhatikan hanya v1 (tegangan port pada port 1)
dan v2 (tegangan port pada port 2).
KCL pada S1 dan S2 diperoleh i1 = i1
’ dan i2 = i2
’ sehingga hanya ada
2 arus i1 (arus port pada port 1) dan i2 (arus port pada port 2)
Daya yang masuk pada port k pada t = t adalah v (t) i (t) k k
Daya yang diberikan pada elemen 2 port oleh sisa rangkaian adalah
v1(t) i1(t) v2(t)i2(t)
Elemen 2- terminal dapat dianggap sebagai 1-port, sehingga
representasi digraph dari 1-port ke 2-port dapat menggunakan 2 cabang
dan 4 node untuk elemen grafiknya sbb:
Tegangan port v1 dan v2 =
tegangan cabang
Arus port i1 dan i2 = arus cabang
Elemen graph dari 2 port
Elemen Multi-Port
Analogi dengan 2-port, maka elemen multi-port dapat diperoleh
Contoh: 3-winding transformer (3-port)
Grafik Elemennya:
Ada 3 cabang dan 6 node:
Ada 3 tegangan port = tegangan cabang
Ada 3 arus port = arus cabang
Hinged Graph
•Grafik elemen dari suatu 2-port yang mengandung 2 cabang
yang tak saling berhubungan
•Tegangan / arus port pada port berbeda tidak terkait satu sama
lain, tetapi disebut coupled
•Sehingga rangkaian yang mengandung 2-port / multi-port
seringkali memiliki grafik rangkaian tak terhubung.
•Gunakan suatu cabang k untuk menghubungkannya, sehingga
diperoleh hinged-graph sbb:
Grounded 2-port
•Bila ada hubungan bersama antara node 1’ dan node 2’ .
•Grounded tidak harus selalu bertegangan nol, tetapi elemen 3-
terminal dengan node datum nya = node bersama.
•Grafik elemennya : 2 cabang yang bersatu pada node bersama.
•Secara umum: elemen n-terminal dapat dipandang sebagai
grounded (n-1) port bila node datumnya ditentukan.
Cut Sets dan KCL
Untuk suatu digraph terhubung G, suatu set cabang b dari G disebut
suatu cut set, jika dan hanya jika:
(a) Penghilangan semua cabang dari cut set menghasilkan suatu
digraph terputus.
(b) Apabila setiap cabang dari cut set dibiarkan apa adanya, maka
digraph tetap terhubung.
Cut sets:
b1 = {1, 3}
b2 = {4, 5, 6}
b3 = {4, 5, 7}
(k : cabang k)

KCL (Cut Set Law)
Untuk semua rangkaian lumped, untuk semua waktu t, jumlah aljabar
arus-arus yang terkait dengan setiap cut set adalah nol.
Contoh:
KCL untuk cut set b = {1, 2, 3} adalah: i1(t) + i2(t) – i3(t) = 0
3 bentuk KCL:

FORMULASI MATRIKS HUKUM KIRCHHOFF
Persamaan Independen Linear
•Ambil set m persamaan aljabar linear dalam m anu.
Untuk j = 1,2, …, m:

dengan jk = bilangan nyata / kompleks
•m persamaan tsb disebut linearly dependent, jika & hanya jika ada
konstanta k1, k2, …, km yang tak semuanya nol, sehingga

•Set m persamaan aljabar linear fj(x1, x2, …, xn) disebut linearly
independent jika dan hanya jika dia bukan linearly dependent.
Contoh:
Set persamaan dengan m = 3 dan n =4 sbb:
x1 - x2 + x3 + 3x4 = 0
2x1 + 3x2 - x3 - 4x4 = 0
-4x1 - 11x2 + 5x3 + 18x4 = 0
Dapat dihitung bahwa ada set konstanta k1 =2, k2 =-3 dan k3 = -1 yang
memenuhi persamaan diatas: set persamaan tsb linearly dependent.
Persamaan KCL Independen
•Berapa banyak persamaan KCL yang linearly independent dan
lengkap: melalui matriks incidence Aa dari digraph ybs.
Secara umum: Digraph G dengan n node dan b cabang dan tak memiliki
self-loop, maka matriks Aa ditentukan sbb:
•Untuk i = 1, 2, …, n dan k = 1, 2, …, b, maka
dan Ai=0

dengan i = (i1, i2, … , ib)T = vektor arus cabang.
Sifat Independen Persamaan KCL
Untuk setiap digraph terhubung G dengan n node, persamaan KCL
untuk (n-1) node tersebut akan membentuk set (n-1) persamaan linear
independen.

Persamaan KVL Independen
•Gunakan ARD dan pilih node 4 = ref:
Dalam bentuk matriks:v=Me
Dengan: v = (v1, v2, …, vb)T = vektor tegangan cabang
e = (e1, e2, …, en-1)T = vektor tegangan node (terhadap ref)
M = matriks b x (n-1)
Untuk k = 1, 2, …, b dan i = 1, 2, …, n-1, maka

Bila persamaan untuk mki dan persamaan untuk aik dibandingkan, maka
diperoleh 2 persamaan:
M=A pangkat T v=A pangkat T dikali e
Untuk digraph terhubung G, matriks A memiliki (n-1) baris independen
linear.
TEOREMA TELLEGEN
Pendahuluan
Pilih sembarang i4, i5, dan i6 dan
hitung i1, i2, dan i3 agar KCL dipenuhi:
Ambil sembarang:
i1 = 1, i2 = 2, i3 = 3,
diperoleh:
i4 = -3, i5 = -1, i6 = 4,
Pilih sembarang v4, v5, dan v6 dan hitung v1, v2, dan v3 agar KVL
dipenuhi:
V4=4 V5=5 V6=6

Diperoleh : V1=-2 V2=-1 V3=-1
Terlihat bahwa: vi=0
Teorema Tellegen
Ambil sembarang digraph G dengan b cabang. Gunakan ARD:
i = (i1, i2, …, ib)T :
set arus cabang sembarang yang memenuhi KCL untuk G
v = (v1, v2, …, vb)T
set tegangan cabang sembarang yang memenuhi KVL untuk G,
maka: atau vi=0
Catatan:
Bila untuk digraph terhubung G diperoleh v’ dan v” yang memenuhi
KVL dan diperoleh i’ dan i” yang memenuhi KCL, maka menurut
teorema Tellegen:
v’ T i’ = 0 v’ T i” = 0 v” T i’ = 0
v” T i” = 0
Terlihat bahwa teorema Tellegen hanya terkait pada sifat interkoneksi
rangkaian atau topologi digraph.
Teorema Tellegen & Konservasi Energi
Ambil rangkaian terhubung yang bersifat lumped.
Tegangan-tegangan cabangnya vk(t) memenuhi KVL
dan
arus-arus cabangnya ik(t) memenuhi KCL,
dengan k = 1, 2, …, b
Menurut Teorema Tellegen:

Dengan mengacu pada ARD, maka
vk(t). ik(t) = daya (laju energi) yang diberikan pada waktu t ke cabang k
oleh sisa rangkaian,
sehingga untuk rangkaian lumped konservasi energi adalah konsekuensi
dari hukum Kirchhoff.
Teorema Tellegen jauh lebih umum daripada konservasi energi.
Latihan:
Untuk suatu rangkaian sembarang dengan digraph G, v(t) memenuhi
KVL untuk G dan i(t) memenuhi KCL untuk G pada semua t 0, buktikan
untuk semua t1, t2 0:

Hukum Kirchhoff & Teorema Tellegen
Sifat-sifat:
1. Bila untuk semua tegangan v memenuhi KVL: vTi = 0, maka arus i
memenuhi KCL
2. Bila untuk semua arus i memenuhi KCL: vTi = 0, maka tegangan v
memenuhi KVL