Sistem-Sistem Bilangan

 Sistem-Sistem Bilangan secara matematis:

Sistem Radiks Himpunan/elemen Digit Contoh

Desimal r=10 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 25510
Biner r=2 {0,1} 11111111
Oktal r= 8 {0,1,2,3,4,5,6,7} 377
Heksa
desimal r=16 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F} FF

 Contoh-2:
 desimal:
5185.6810 = 5x103 + 1x102 + 8x101 + 5x100 + 6 x 10-1 + 8 x 10-2
= 5x1000 + 1x100 + 8x10 + 5 x 1 + 6x.1 + 8x.01
 biner (radiks=2, digit={0, 1})
100112 = 1 ´ 16 + 0 ´ 8 + 0 ´ 4 + 1 ´ 2 + 1 ´ 1 = 1910
| |
MSB LSB
101.0012 = 1x4 + 0x2 + 1x1 + 0x.5 + 0x.25 + 1x.125 = 5.12510
Sistem-Sistem Bilangan Umum

Desimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Heksa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Biner 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011
1100 1101 1110 1111
Konversi Radiks-r ke desimal
 Ekspansikan dgn menggunakan definisi berikut Contoh-2:
 1101.1012 = 1´23 + 1´22 + 1´20 + 1´2-1 + 1´2-3
= 8 + 4 + 1 + 0.5 + 0.125 = 13.62510

 572.68 = 5´82 + 7´81 + 2´80 + 6´8-1
= 320 + 56 + 16 + 0.75 = 392.7510

 2A.816 = 2´161 + 10´160 + 8´16-1
= 32 + 10 + 0.5 = 42.510

 132.34 = 1´42 + 3´41 + 2´40 + 3´4-1
= 16 + 12 + 2 + 0.75 = 30.7510

 341.245 = 3´52 + 4´51 + 1´50 + 2´5-1 + 4´5-2
= 75 + 20 + 1 + 0.4 + 0.16 = 96.5610

Konversi Desimal ke biner
 Konversi bilangan desimal bulat: Gunakan pembagian dgn 2 secara suksesif sampai sisanya = 0. Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi least significant bit (LSB) dan sisa yang terakhir menjadi most significant bit (MSB).
 Contoh: Konersi 17910 ke biner:
179 / 2 = 89 sisa 1 (LSB)
/ 2 = 44 sisa 1
/ 2 = 22 sisa 0
/ 2 = 11 sisa 0
/ 2 = 5 sisa 1
/ 2 = 2 sisa 1
/ 2 = 1 sisa 0
/ 2 = 0 sisa 1 (MSB)
Þ 17910 = 101100112

Konversi desimal ke biner – lanj.
 Konversi fraksi-fraksi desimal ke biner: kalikan dengan 2 secara berulang sampai fraksi hasil perkalian = 0 (atau sampai jumlah penempatan biner yang diharapkan). Digit kesleuruhan hasil perkalian memrupakan jawaban, dengan yang pertama à MSB, dan yang terakhir àLSB.
 Contoh: Konversi 0.312510 ke biner
Digit hasil
.3125 ´ 2 = 0.625 0 (MSB)
.625 ´ 2 = 1.25 1
.25 ´ 2 = 0.50 0
.5 ´ 2 = 1.0 1 (LSB)
Þ 0.312510 = .01012
Penjumlahan aritmatika Biner
 Mirip spt penjumlahan bil. Desimal, dua bil. biner dijumlahkan melalui penambahan setiap pasangan bit-bit bersamaan dengan propagasi carry.
Pengurangan aritmatika Biner
 Dua bil. Biner dikurankan melalui pengurangan setiap pasangan bit-bit berikut suatu borrowing, jika diperlukan.
Representasi-2 bilangan biner negatif
 Besaran bertanda (Signed-magnitude)
 Gunakan MSB sbg bit tanda (sign bit), dan sisa sbg besran (magnitude)
 Contoh: 111111112 = -12710
 Jangkauan mulai -2(n-1)+1 s/d 2(n-1)–1 u/ sebuah bil. biner n-bit
 Sign bit tidak digunakan u/ operasi aritmatika

 Komplemen satu (Ones’-complement)
 MSB sbg sign bit; komplemenkan seluruh bit-2 u/ memperoleh bil. negatif
 Contoh: 11910 = 01110111, -11910 = 10001000
 Jangkauanya sama spt representasi “signed-magnitude”
 Sign bit akan digunakan dalam operasi aritmatika

 Komplemen dua (Two’s-complement)
 MSB sbg sign bit; komplemenkan seluruh bit-2 dan tambah 1 u/ memperoleh bilangan negatif
 Conoth: -11910 = 10001001
 Jangkauan mulai dari -2(n-1) s/d 2(n-1)–1 u/ sebuah bil biner n-bit
 `Sangat baik’ u/ operasi aritmatika
Perbandingan dari representasi yang berbeda
Sifat-2 penting (Key properties) dari 2’s-complement
 Represntasi nol (zero) yang unikn
 Signed-magnitude dan 1’s-complement memiliki dua nol
 dapat merepresentasikan satu bil. ekstra: -2(n-1) s/d 2(n-1)–1

 Disamping operasi `add-one’ dlm penegatifan sebuah bil., komplemen dari komplemen sebuah bilangan adalah bilangan asal (original number.

 Nilai bil. 2’- complement n-bit dinyatakan sbb.:
 D 2’s-complement = dn-1´-2 n-1 + dn-2´2n-2 … d1´21 + d0
 Contoh: 10112 = 1´-23 + 0´22 + 1´21 + 1 = -8 + 0 + 2 + 1 = -5

 Ekstensi tanda (Sign-extension):
 Sebuah bil 2’s-complement n=bit dpt dikonversi menjadi bil m-bit dimana m>n melalui penambahan m-n kopi dr sign bit ke kiri bilangan.
 Contoh: 1011 4-bit 2’s-complement = 11111011 8-bit 2’s-complement – terbukti !!

 Penjumlahan dan pengurangan bil.-2 2’s complement seperti halnya bilangan tak bertanda, namun melalui aturan deteksi overflow yang sederhana
Penjumlahan/pengurangan 2’s complement
 Operasi-2 yang sama baik u/ bil. positif maupun negatif
 `Penjumlahan’ contoh-2:
4 0100 -2 1110
+ -7 1001 + -6 1010
-3 1101 -8 1 1000

 Pengurangan dilakukan dgn penambahan 2’s complement dari bil.
 Mirip spt bil. desimal
 Implementasi sederhana dgn menggunakan rang. digital – ?
 invert bit-bit dan tambahkan sebuah Cin=1 menjadi bit LSA
 Overflow: Hasil melebihi range -2(n-1) s/d 2(n-1)–1
 terjadi jk signs (MSBs) dari kedua operand sama dan sign hasil berbeda
 Dpt juga dideteksi dgn membandingkan Cin dan Cout dari sign bi
 Implementasi à gunakan XOR.
Penjumlahan/pengurangan One’s-complement
 Jika terdapat sebuah “carry out’ dari posisi sign position, tambah 1

 Contoh.
 -2 1101
 + -5 1010
 -7 10111
 + 1
 1000
Perkalian Biner
 Perkalian dilakukan melalui penambahan sebuah list dari shifted multiplicands menurut digit pengali (multiplier)
 Contoh: (tak bertanda (unsigned))
11 1 0 1 1 multiplicand (4 bits)
X 13 X 1 1 0 1 multiplier (4 bits)
-------- -------------------
33 1 0 1 1
11 0 0 0 0
______ 1 0 1 1
143 1 0 1 1
---------------------
1 0 0 0 1 1 1 1 Hasil kali (8 bits)

Perkalian Biner – lanj.
 Disamping metode sebelumnya, kita dapat menambahkan setiap shifted multiplicand dengan sebuah “partial product”. Contoh sbelumnya menjadi sbb/:
11 1011 multiplicand
x 13 x 1101 multiplier
143 0000 partial product
1011 shifted multiplicand
01011 partial product
0000 shifted multiplicand
001011 partial product
1011 shifted multiplicand
0110111 partial product
1011 shifted multiplicand
10001111 product

Perkalian 2’s-complement

 Sebuah urutan penjumlahan two’s-complement dari shifted multiplicands kecuali untuk pada step terakhir dimana shifted multiplicand sesuai dgn MSB harus di- “2’s complementkan (negatifkan dan tambah 1).
 Sebelum menambahkan sebuah shifted multiplicand dgn partial product, sebuah bit tambahan ditambahkan ke kiri dari partial product dgn menggunkan sign extension.
 Contoh:
- 5 1011 multiplicand
x - 3 x 1101 multiplier
15 00000 partial product
11011 shifted multiplicand
111011 partial product
00000 shifted multiplicand
1111011 partial product
11011 shifted multiplicand
11100111 partial product
00101 shifted and 2’s comp.
00001111 product