Web sites:
http://www.ZeitControl.de
http://www.BasicCard.com
Like most computer hardware, the price of smart cards is steadily decreasing, while performance and capacity are improving all the time. You can now buy a fully-functional computer, the size of your thumb-nail, for just a euro or two. However, before the BasicCard arrived, the cost of developing software for smart cards was out of all proportion to the cost of the hardware. A typical development project might take six months and cost a quarter of a million euros. This was a major barrier to the widespread use and acceptance of smart cards. But now you can program your own smart card in an afternoon, with no previous experience required. If you can program in Basic, you can design and implement a custom smart card application. With ZeitControl’s BasicCard, the development cycle of writing code, downloading, and testing takes a few minutes instead of weeks. This document describes ZeitControl’s BasicCard family: the Compact BasicCard, the Enhanced BasicCard, and Professional BasicCard, and the MultiApplication BasicCard. A BasicCard contains 256-1768 bytes of RAM, and 1-31 kilobytes of user-programmable EEPROM. The EEPROM contains the user’s Basic code, compiled into a virtual machine language known as P-Code (the Java programming language uses the same technology). The user’s permanent data is also stored in EEPROM, either as Basic variables, or in the BasicCard’s directory-based file system. The RAM contains run-time data and the P-Code stack. The smallest BasicCard, the Compact BasicCard, contains 1 kilobyte of EEPROM. How much Basic code can you squeeze into this card? While no exact figure can be given, our experience suggests a ratio of about 10-20 bytes of P-Code to every statement of Basic code. Assuming on average one statement every two lines (for comments and blank lines), this works out at 100-200 lines of source code. Some Professional BasicCards contain over 30 times as much EEPROM. The MultiApplication BasicCard contains 31 kilobytes of EEPROM, allowing several sizeable Applications in a single card. To create P-Code and download it to the BasicCard, you need ZeitControl’s BasicCard support software. This software is free of charge, and can be downloaded at any time from ZeitControl’s BasicCard page on the Internet (www.BasicCard.com). The support software runs under Microsoft® Windows® 98 or later. With this support package, you can test your software even if you don’t have a card reader, by simulating the BasicCard in the PC. The package contains a fully-functional Multiple Debugger, that can run Terminal and BasicCard programs simultaneously. So you can try out your idea for a smart card application without it costing you a cent.
The Smart Card Environment
Obviously, programming a smart card is not the same as programming a desktop computer. It has no keyboard or screen, for a start. So how does a smart card receive its input and communicate its output? It talks to the outside world through its bi-directional I/O contact. Communication takes place at 9600 baud or more, according to the T=0 and T=1 protocols defined in ISO/IEC standards 7816-3 and 7816-4. But this is completely invisible to the Basic programmer – all you have to do is define a command in the card, and program it like an ordinary Basic procedure. Then you can call this command from a ZCBasic program running on the PC. Again, the command is called as if it was an ordinary procedure. The BasicCard operating system takes care of all the communications for you. It will even encrypt and decrypt the commands and responses if you ask it to. All you have to do is specify a different two-byte ID for each command that you define. (If you are familiar with ISO/IEC 7816-4: Interindustry commands for interchange, you will know these two bytes as CLA and INS, for Class and Instruction.) Here is a simple example. Suppose you run a discount warehouse, and you are issuing the BasicCard to members to store pre-paid credits. You will want a command that returns the number of credits left in the card. So you might define the command GetCustomerCredits, and give it an ID of &H20 &H02 (&H is the hexadecimal prefix):
Eeprom CustomerCredits ′ Declare a permanent Integer variable
Command &H20 &H02 GetCustomerCredits (Credits)
Credits = CustomerCredits
End Command
You can call this command from the PC with the following code:
Const swCommandOK = &H9000
Declare Command &H20 &H02 GetCustomerCredits (Credits)
Status = GetCustomerCredits (Credits)
If Status <> swCommandOK Then GoTo CancelTransaction
The value &H9000 is defined in ISO/IEC 7816-4 as the status code for a successful command. This value is automatically returned to the caller unless the ZC-Basic code specifies otherwise. The return value from a command should always be checked, even if the command itself has no error conditions – for instance, the card may have been removed from the reader. It’s as simple as that. Of course, there is a lot more going on below the surface, but you don’t have to know about it to write a BasicCard application.
Technical Summary
All BasicCard families (Compact, Enhanced, Professional, and MultiApplication) contain:
a full implementation of the T=1 block-level communications protocol defined in ISO/IEC
7816-3: Electronic signals and transmission protocols, including chaining, retries, and WTX
requests;
a command dispatcher built around the structures defined in ISO/IEC 7816-4: Interindustry commands for interchange (CLA INS P1 P2 [Lc IDATA] [Le] );
built-in commands for loading EEPROM, enabling encryption, etc.;
a Virtual Machine for the execution of ZeitControl’s P-Code;
code for the automatic encryption and decryption of commands and responses, using the AES, DES, or SG-LFSR symmetric-key algorithm.
Enhanced BasicCards contain in addition:
a directory-based, DOS-like file system;
IEEE-compatible floating-point arithmetic.
The functionality of the Enhanced BasicCard family can be further extended using Plug-In Libraries.
Professional BasicCards contain all the above, plus:
a Public-Key algorithm (RSA or EC);
a full implementation of the T=0 byte-level communications protocol defined in ISO/IEC
7816-3: Electronic signals and transmission protocols;
the SHA-1 Secure Hash Algorithm.
The MultiApplication BasicCard (and some Professional BasicCards) contain all the above, plus cryptographic algorithms EAX (for Authenticated Encryption) and OMAC (for Message Authentication) and the SHA-256 Secure Hash Algorithm. The data sheet on the next two pages contains details of available BasicCards versions, and the cryptographic algorithms that they support.
Development Software
The ZeitControl MultiDebugger software support package consists of:
ZCPDE, the Professional Development Environment;
ZCMDTERM and ZCMDCARD, debuggers for Terminal programs and BasicCard programs;
ZCMBASIC, the compiler for the ZC-Basic language;
ZCMSIM, for low-level simulation of Terminal and BasicCard programs;
BCLOAD, for downloading P-Code to the BasicCard;
KEYGEN, a program that generates random keys for use in encryption;
BCKEYS, for downloading cryptographic keys to the Compact and Enhanced BasicCards.
BasicCard Versions
Compact BasicCard
Version EEPROM RAM Protocol Encryption Floating-Point Support File System
ZC1.1 1K 256 bytes T=1 SG-LFSR None No
Enhanced BasicCard
Version EEPROM RAM Protocol Encryption Extras FP Support File System
ZC3.1 2K 256 bytes T=1 DES Full Yes
ZC3.2 4K 256 bytes T=1 DES Full Yes
ZC3.3 18K 256 bytes T=1 DES Full Yes
ZC3.4 16K 256 bytes T=1 DES Full Yes
ZC3.5 6K 256 bytes T=1 DES EC-FSA1 Full Yes
ZC3.6 14K 256 bytes T=1 DES EC-FSA1 Full Yes
ZC3.7 2K 256 bytes T=1 DES Full Yes
ZC3.8 4K 256 bytes T=1 DES Full Yes
ZC3.9 8K 256 bytes T=1 DES Full Yes
1 EC-FSA: Fast Signature Algorithm for Elliptic Curve Cryptography
Plug-In Libraries for the Enhanced BasicCard: EC-161, AES, SHA-1, IDEA
Professional BasicCard1
Version PKAlgorithm EEPROM RAM Protocol Encryption Extras FP Support File System
ZC4.5A RSA 30K 1K T=0, T=1 AES SHA-1 Partial2 Yes
ZC4.5D RSA 30K 1K T=0, T=1 DES SHA-1 Partial2 Yes
ZC5.4 EC-167 16K 1K T=0, T=1 AES & DES SHA-1 Full Yes
ZC5.5 EC-211 31K 1.7K T=0, T=1 EAX/OMAC/AES/DES SHA-256 Full Yes
1 See Professional and MultiApplication BasicCard Datasheet for more information
2 Single-to-String conversion not supported
MultiApplication BasicCard1
Version PK Algorithm EEPROM RAM Protocol Encryption Extras FP Support File System
ZC6.5 EC-211 31K 1.7K T=0, T=1 EAX/OMAC/AES/DES SHA-256 Full Yes
1 See Professional and MultiApplication BasicCard Datasheet for more information
Algorithms and Protocols
Public-Key Algorithms
Name Description Key size Reference
RSA Rivest-Shamir-Adleman algorithm 1024 bits
EC-211 Elliptic Curve Cryptography over the field GF(2211 ) 211 bits
EC-167 Elliptic Curve Cryptography over the field GF(2167 ) 167 bits
EC-161 Elliptic Curve Cryptography over the field GF(2168 ) 161 bits IEEE P1363: Standard
Specifications for Public
Key Cryptography
Symmetric-Key Algorithms
Name Description Key size Reference
EAX Encryption with Authentication for Transfer (using AES) 128/192/256 bits EAX: A Conventional Authenticated-Encryption Mode1 M. Bellare, P. Rogaway, D. Wagner
OMAC One-Key CBC-MAC (using AES) 128/192/
256 bits OMAC: One-Key CBC MAC1 Tetsu Iwata and Kaoru Kurosawa Department of Computer and Information Sciences, Ibaraki University 4–12–1 Nakanarusawa, Hitachi, Ibaraki 316-8511, Japan
AES Advanced Encryption Standard 128/192/ 256 bits Federal Information Processing Standard FIPS 197 DES Data Encryption Standard 56/112/168 bits ANSI X3.92-1981: Data Encryption Algorithm
SG-LFSR Shrinking Generator – Linear Feedback Shift Register 64 bits D. Coppersmith, H. Krawczyk, and Y. Mansour, The Shrinking Generator, Advances in Cryptology – CRYPTO ’93 Proceedings, Springer-Verlag, 1994
IDEA International Data Encryption Algorithm 128 bits X. Lai, On the Design and Security of Block Ciphers, ETH Series in Information Processing, v. 1, Konstanz:
Hartung-Gorre Verlag, 1992 1 These documents are available at
http://csrc.nist.gov/CryptoToolkit/modes/proposedmodes/
Data Hashing Algorithms
Name Description Reference
SHA-256 Secure Hash Standard Federal Information Processing Standard FIPS 180-2
SHA-1 Secure Hash Algorithm, revision 1
Communication Protocols
Name Description Reference
T=0 Byte-level transmission protocol
T=1 Block-level transmission protocol ISO/IEC 7816-3: Electronic signals and transmission protocols
Sabtu, 05 April 2008
Kerja Ilmiah
Dalam melaksanakan kerja ilmiah ada empat hal yang perlu diketahui dan dilakukan.
• Merencanakan penelitian ilmiah
• Melaksanakan penelitian
• Mengomunikasikan hasil penelitian
• Bersikap ilmiah dalam setiap thap kegiatan ilmiah yang dilakukan
A. Merencanakan Penelitian Ilmiah
Kerja ilmiah harus mempunyai perencanaan yang matang karena dapat mempengaruhi hasil penelitian itu sendiri. Pada thap ini harus ditentukan tujuan penelitian, bentuk penelitian,penetapan variable,metode penelitian dan teknik pengolahan data. Untuk ketercapinya penelitian biasanya detemukan beberapa kendala.
1.Tujuan Penelitian
Tujuan kerja ilmiah dalam bidang dapat dibagi sesuai dengan ruang lingkup kebutuhannya misalnya fisika dikelompokan menjadi dua :
• Pengembangan IPTEK
• Pemahaman gejala-gejala alam
Pembagian ini bertujuan agar kita tetap focus pada penelitian yang kita adakan sebelum dikaitkan dengan permasalahan lainnya. Kerja ilmiah dengan tujuan pemahaman terhadap suatu perkembangan IPTEK atau gejala hendaknya mengetahui materi yang menyangkut penelitian misalnya :
• Pemeriksaan rumus atau hukum yang sudah terbukti kebenarannya (Hukum Snellius,Hukum Boyle, dan hukum Ohm)
• Pemeriksaaan Konstanta Fisika yang sudah ada (Gravitasai,Gas dll)
• Penentuan sifat fisis suatu material baru misal penentuan massa jenis
2.Bentuk Penelitian
Kerja ilmiah eksperimental (di lakukan di laboraturium)
Kerja ilmiah survey (pengamatan,pengumpulan dan pemeriksaan)
Kerja ilmiah tinjauan pustaka (analisis data yang telah ada)
Kerja ilmiah rekayasa (Perencanaan dan desain)
Kerja ilmiah bahasa teoritis
3.Penentuan variable
Misalnya pengukuran rumus kecepatan dan jarak :
s = v.t
Dimana : s = Jarak tempuh
V = Kecepatan
t = Waktu
Yang akan ditentukan adalah waktu yang dibutuhkan dengan kecepatan tertentu sehingga mana yang nilainya yang akan di ubah dan mana yang tetap.
4.Menyusun Hipotesis
Merupakan dugaan yang terjadi pada objek penelitian dan biasanya akan berbeda dengan hasil penelitan.
5.Pemilihan Peralatan
Peralatan dipilih sesuai dengan kebutuhan penelitian dan juga aspek ketelitian alat.
6.Cara Kerja dan Pengumpulan Data
Cara kerja menguraikan tentang bagaimana bahan dan peralatan serta metode penelitian yang digunakan dalam kajian atau penelitian yang dilakukan.
7.Pengumpulan Data
Pengumpulan data harus sistematis agar tidak terjadi pengulangan pengamatan yang dapat mengakibatkan habisnya biaya dan waktu.
8.Analisis Data
Data yang diperoleh dalam pengukuran dan pengamatan seringkali masih merupakan data mentah yang perlu dianalisis. Dalam analisis data perlu direncanakan apakah data-data tersebut akan ditampilkan dalam bentuk grafik, table, atau digunakan untuk mendapatkan rumus empiris yang dikembangkan dari pengamatan.
B.Mengomunikasikan Hasil Penelitian Ilmiah
Hasil yang diperoleh dari penelitian perlu dikomunikasikan agar orang lain mengetahui penelitiahn tersebut. Manfaat yang dapat diperoleh dengan mengkomunikasikan hasil penelitian antara lain :
Dapat menyebarkan hasil penelitian
Mendapatkan koreksi, kritik, dan saran dari peneliti
Mendapatkan dana bagi peneliti sebagai aplikasinya
C. Sistematika Laporan Ilmiah
• Judul Penelitian Ilmiah yang dilakukan
• Penulis dan alamat penulis
• Abstrak (100 kata) jangan terlalu panjang
• Pendahuluan (tujuan,peranan,hubungan dengan penelitian yang pernah ada)
• Teori (Kalau instruksi praktikum mangandung penjelasan tentang teori janganlah dikutip mentah-mentah.Sebaiknya disadur dan dilengkapi dengan bahan yang diambil dari buku acuan)
• Alat dan bahan
• Hasil, Pengolahandata dan Pembahasan
• Kesimpulan
• Ucapan Terimakasih
• Daftar Pustaka
Bersikap Ilmiah
• Sikap ingin tahu
• Sikap untuk senantiasa mendahulukan bukti
• Sikap luwes terhadap gagasan baru
• Sikap merenung secara kritis
• Sikap peka terhadap makhluk hidup dan lingkungan
• Bertanggung jawab
• Kerja sama
• Merencanakan penelitian ilmiah
• Melaksanakan penelitian
• Mengomunikasikan hasil penelitian
• Bersikap ilmiah dalam setiap thap kegiatan ilmiah yang dilakukan
A. Merencanakan Penelitian Ilmiah
Kerja ilmiah harus mempunyai perencanaan yang matang karena dapat mempengaruhi hasil penelitian itu sendiri. Pada thap ini harus ditentukan tujuan penelitian, bentuk penelitian,penetapan variable,metode penelitian dan teknik pengolahan data. Untuk ketercapinya penelitian biasanya detemukan beberapa kendala.
1.Tujuan Penelitian
Tujuan kerja ilmiah dalam bidang dapat dibagi sesuai dengan ruang lingkup kebutuhannya misalnya fisika dikelompokan menjadi dua :
• Pengembangan IPTEK
• Pemahaman gejala-gejala alam
Pembagian ini bertujuan agar kita tetap focus pada penelitian yang kita adakan sebelum dikaitkan dengan permasalahan lainnya. Kerja ilmiah dengan tujuan pemahaman terhadap suatu perkembangan IPTEK atau gejala hendaknya mengetahui materi yang menyangkut penelitian misalnya :
• Pemeriksaan rumus atau hukum yang sudah terbukti kebenarannya (Hukum Snellius,Hukum Boyle, dan hukum Ohm)
• Pemeriksaaan Konstanta Fisika yang sudah ada (Gravitasai,Gas dll)
• Penentuan sifat fisis suatu material baru misal penentuan massa jenis
2.Bentuk Penelitian
Kerja ilmiah eksperimental (di lakukan di laboraturium)
Kerja ilmiah survey (pengamatan,pengumpulan dan pemeriksaan)
Kerja ilmiah tinjauan pustaka (analisis data yang telah ada)
Kerja ilmiah rekayasa (Perencanaan dan desain)
Kerja ilmiah bahasa teoritis
3.Penentuan variable
Misalnya pengukuran rumus kecepatan dan jarak :
s = v.t
Dimana : s = Jarak tempuh
V = Kecepatan
t = Waktu
Yang akan ditentukan adalah waktu yang dibutuhkan dengan kecepatan tertentu sehingga mana yang nilainya yang akan di ubah dan mana yang tetap.
4.Menyusun Hipotesis
Merupakan dugaan yang terjadi pada objek penelitian dan biasanya akan berbeda dengan hasil penelitan.
5.Pemilihan Peralatan
Peralatan dipilih sesuai dengan kebutuhan penelitian dan juga aspek ketelitian alat.
6.Cara Kerja dan Pengumpulan Data
Cara kerja menguraikan tentang bagaimana bahan dan peralatan serta metode penelitian yang digunakan dalam kajian atau penelitian yang dilakukan.
7.Pengumpulan Data
Pengumpulan data harus sistematis agar tidak terjadi pengulangan pengamatan yang dapat mengakibatkan habisnya biaya dan waktu.
8.Analisis Data
Data yang diperoleh dalam pengukuran dan pengamatan seringkali masih merupakan data mentah yang perlu dianalisis. Dalam analisis data perlu direncanakan apakah data-data tersebut akan ditampilkan dalam bentuk grafik, table, atau digunakan untuk mendapatkan rumus empiris yang dikembangkan dari pengamatan.
B.Mengomunikasikan Hasil Penelitian Ilmiah
Hasil yang diperoleh dari penelitian perlu dikomunikasikan agar orang lain mengetahui penelitiahn tersebut. Manfaat yang dapat diperoleh dengan mengkomunikasikan hasil penelitian antara lain :
Dapat menyebarkan hasil penelitian
Mendapatkan koreksi, kritik, dan saran dari peneliti
Mendapatkan dana bagi peneliti sebagai aplikasinya
C. Sistematika Laporan Ilmiah
• Judul Penelitian Ilmiah yang dilakukan
• Penulis dan alamat penulis
• Abstrak (100 kata) jangan terlalu panjang
• Pendahuluan (tujuan,peranan,hubungan dengan penelitian yang pernah ada)
• Teori (Kalau instruksi praktikum mangandung penjelasan tentang teori janganlah dikutip mentah-mentah.Sebaiknya disadur dan dilengkapi dengan bahan yang diambil dari buku acuan)
• Alat dan bahan
• Hasil, Pengolahandata dan Pembahasan
• Kesimpulan
• Ucapan Terimakasih
• Daftar Pustaka
Bersikap Ilmiah
• Sikap ingin tahu
• Sikap untuk senantiasa mendahulukan bukti
• Sikap luwes terhadap gagasan baru
• Sikap merenung secara kritis
• Sikap peka terhadap makhluk hidup dan lingkungan
• Bertanggung jawab
• Kerja sama
Kamis, 03 April 2008
•Electrical Engineer harus mampu menganalisis dan merancang
rangkaian.
•Rangkaian Elektrik ada dimana-mana: PC, TV, Hi-Fi, jaringan
listrik, sistem telekomunikasi antar benua dan seterusnya.
•Rangkaian-rangkaian tersebut berbeda sifat dan cara
menganalisis dan mendesainnya.
•Tujuan kuliah ini memberikan pengantar teori rangkaian yang
cukup mendalam yang tak hanya dibebani pada rangkaian linear
dan rangkaian pasif saja.
•Teori rangkaian merupakan dasar untuk seluruh bidang teknik
Elektro.
•Rangkaian (fisik) elektrik : hubungan (secara fisik) antara divaisdivais
elektrik (resistor, koil, kondensator, dioda, transistor, Op
Amp, batere, transformer, motor, generator dan seterusnya).
•Tujuan teori rangkaian : menduga perilaku elektrik rangkaianrangkaian
fisik untuk memperbaiki desainnya, menekan biaya
dan memperbaiki unjuk kerjanya pada semua kondisi operasi
(pengaruh suhu, umur, kemungkinan terjadinya kondisi salah).
•Domain aplikasi teori rangkaian sangat luas : VLSI yang
berukuran kecil hingga jaringan telekomunikasi dan jaringan
listrik yang menghubungkan antar benua.
Tegangan: micro volt Mega volt
Arus : femto ampere (10-15 A) Mega ampere
Frekuensi : 0 (dc) Puluhan GHz
Daya : 10-14 W MW.
•Pembahasan teori rangkaian hanya pada perilaku elektrik suatu
rangkaian :
•Menduga dan menjelaskan (prediksi kuantitatif dan kualitatif )
tegangan dan arus pada terminal-terminal yang diukur pada
terminal divais- divais yang bersangkutan.
•Asumsi dalam analisis : lumped circuits (dimensi fisiknya
cukup kecil sehingga pada aplikasinya gelombang
elektromagnetik dapat dipropagasikan sepanjang sirkuit
seketika).
•Pada kondisi ini : pada seluruh rangkaian arus i(t) yang
melalui terminal divais manapun dan beda tegangan v(t) pada
setiap pasang terminal, pada setiap saat t terdefinisi dengan
baik.
Contoh 1 : Chip
Ambil waktu sinyal terpendek 0,1 nanodetik dan jarak terjauh
1mm.
Kecepatan gelombang elektromagnetik = kecepatan cahaya: 3x
108 m/s.
Waktu yang dibutuhakan untuk jarak 1 mm = 10-3 m / 3 x 108
m/s = 0,0033 ns. Sehingga waktu propagasi dapat diabaikan.
Rangkaian dapat dianggap bersifat lumped.
Contoh 2: Rangkaian Audio
Ambil fekuensi tertinggi f = 25 kHz, yang merupakan panjang
gelombang = c / f = 12 km. Sehingga panjang rangkaian
dapat diabaikan: rangkaian dapat dianggap bersifat lumped.
PEMODELAN DAN ELEMEN RANGKAIAN
•Divais elektrik : objek fisik di lab / pabrik
•Rangkaian fisik : diperoleh dengan menghubungkan (wire)
divais-divais elektrik.
•Model ideal : resistor : v = iR
induktor : v = L di/dt
kapasitor : i = C dv/dt
disebut elemen-elemen (pasif) rangkaian.
•Pemodelan adalah pendekatan : tergantung pada aplikasi atau
masalah yang dihadapi.
•Rangkaian : interkoneksi elemen-elemen rangkaian.
Dalam pembahasan selanjutnya digunakan rangkaian, bukan rangkaian
fisik
Node :
Penghubung dalam suatu rangkaian dimana terminal-terminal
terhubung semua.
Suatu terminal terpisah dari suatu elemen rangkaian yang tak
terhubung.
HUKUM KIRCHHOFF
Arah Referensi
Perlu referensi arah arus/polaritas tegangan dalam rangkaian karena
umumnya hal tersebut tak dapat diketahui lebih dulu.
Hukum Tegangan Kirchhoff
Untuk rangkaian yang bersifat lumped dan terhubung, maka untuk
semua pilihan node referensi, untuk semua waktu t, untuk semua
pasangan node k dan j, maka :
vk-j(t) = ek(t) – ej(t)
catatan
vj-k(t) = ej(t) – ek(t) = -vk-j
Contoh
v1-5 = e1 – e5 = e1
v1-2 = e1 – e2
v2-3 = e2 – e3
v3-4 = e3 – e4
v4-5 = e4 – e5 = e4
v5-2 = e5 – e2 = - e2
Ingat:
v4-5 +v2-4 + v5-2 = 0
Closed node sequence: 2-4-5-2; 2-3-5-2: V = 0
Loop: 1-2-3-4-5-1 : V = 0
KVL dalam Urutan Node Tertutup
Dalam semua rangkaian yang bersifat lumped dan terhubung, untuk
semua urutan node tertutup, untuk semua waktu t, jumlah aljabar dari
semua tegangan node-ke-node sepanjang node tertutup tersebut adalah
nol.
Hukum Arus Kirchhoff
Untuk semua rangkaian lumped, untuk semua bidang Gaussian,
untuk semua waktu t, jumlah aljabar semua arus yang meninggalkan
bidang Gaussian pada waktu t adalah nol.
S1 (node = kasus khusus bidang Gaussian):
i1(t) + i2(t) = 0 untuk semua t
S2 : -i1(t) + i12(t) = 0 atau i1(t) = i12(t)
S3 : i1(t) + i4(t) + i5(t) + i6(t) = 0
S4 : i3(t) + i11(t) + i8(t) + i9(t) – i6(t) – i5(t) – i4(t) = 0
S5 : i11(t) – i10(t) – i4(t) - i7(t) = 0
S6 : -i12(t) – i3(t) – i11(t) - i8(t) – i9(t) = 0
KCL untuk node
Untuk semua rangkaian lumped, untuk semua waktu t, jumlah aljabar
arus meninggalkan suatu node adalah nol.
REPRESENTASI GRAFIK RANGKAIAN
•Sifat interkoneksi rangkaian lebih mudah digambarkan secara
grafik
•Grafik tetap mempertahankan sifat-sifat interkoneksi rangkaian
tetapi meniadakan info tentang elemen-elemen rangkaian,
sehingga KVL dan KCL tetap berlalu.
•Suatu grafik G ditentukan oleh sekumpulan node {1,2, …, n } dan
sekumpulan cabang {1, 2, … n}
•Digraph (directed graph) bila ada arah pada percabangan (arah
referensi untuk arus)
Jumlah node
Jumlah node : n = 5
Jumlah cabang: b = 7
Elemen Grafik
Elemen 2-Terminal
Associated reference direction (ARD):
Arus keluar dari terminal positif atau arah panah menunjukkan arah dari
tanda + ke tanda -.
i = arus cabang elemen 2 terminal
v = tegangan (cabang) elemen 2 terminal
v(t) > 0 iff v1(t) > v2(t)
i(t) > 0 iff arus masuk melalui node
dan meninggalkannya melalui node .
Perhitungan daya untuk ARD :
p(t) = v(t) . i(t)
(daya yang diberikan oleh sisa rangkaian pada waktu t pada elemen 2-
terminal ke elemen yang terhubung padanya)
Elemen 3-Terminal
•3 arus node
•3 tegangan •2 arus cabang
•2 tegangan cabang
KVL : v1-3 + v3-2 + v2-1 = 0
Pilih : node referensi, sehingga ada 2 tegangan yang direferensikan
secara independent :
v1 = v1-3 dan v2 = v2-3
KCL :i1 + i2 + i3 = 0, sehingga
i1 dan i2 arus independent
Representasi Digraph Lainnya
Untuk : node referensi Untuk node referensi
Elemen n-Terminal
•Ada (n – 1 ) arus cabang
•Ada (n – 1 ) tegangan cabang
Daya yang diberikan pada elemen dari luar pada waktu = t :
Grafik Rangkaian
Grafik rangkaian (Diagraph) diperoleh dengan mengganti setiap elemen
circuit dengan elemen grafiknya.
Catatan : konversi digraph ke circuit memerlukan info tentang nodenode
milik elemen 3-node.
•Jumlah cabang diagraph = 7 + (4-1) = 10
•Gunakan KVL untuk menghitung tegangan cabang vk melalui
tegangan node ei (terhadap ref):
v1 = e1 v2 = e1 – e2 v3 = e3 v4 = e2
v5 = e2 – e4 v6 = e2 – e4 v7 = e4 v8 = e4
v9 = e4 v10 = e3
(Tuliskan dalam bentuk matriks)
•Gunakan KCL pada node 1 hingga node 4:
i1 + i2 = 0
- i2 + i4 + i5 + i6 = 0
i3 + i10 = 0
- i5 - i6 + i7 + i8 + i9 = 0
(Tuliskan dalam bentuk matriks)
•Bila cabang 3 diganti short circuit, maka node 3 menyatu dengan
node 5, sehingga timbul self loop : (1 cabang dan 1 node).
2-port, Multiport & Hinged Graphs
Elemen 2-Port :
•Elemen rangkaian atau rangkaian dengan 2 pasang terminal
yang dapat diakses
•input port dan output port
•dapat memiliki banyak elemen circuit
tegangan yang diperhatikan hanya v1 (tegangan port pada port 1)
dan v2 (tegangan port pada port 2).
KCL pada S1 dan S2 diperoleh i1 = i1
’ dan i2 = i2
’ sehingga hanya ada
2 arus i1 (arus port pada port 1) dan i2 (arus port pada port 2)
Daya yang masuk pada port k pada t = t adalah v (t) i (t) k k
Daya yang diberikan pada elemen 2 port oleh sisa rangkaian adalah
v1(t) i1(t) v2(t)i2(t)
Elemen 2- terminal dapat dianggap sebagai 1-port, sehingga
representasi digraph dari 1-port ke 2-port dapat menggunakan 2 cabang
dan 4 node untuk elemen grafiknya sbb:
Tegangan port v1 dan v2 =
tegangan cabang
Arus port i1 dan i2 = arus cabang
Elemen graph dari 2 port
Elemen Multi-Port
Analogi dengan 2-port, maka elemen multi-port dapat diperoleh
Contoh: 3-winding transformer (3-port)
Grafik Elemennya:
Ada 3 cabang dan 6 node:
Ada 3 tegangan port = tegangan cabang
Ada 3 arus port = arus cabang
Hinged Graph
•Grafik elemen dari suatu 2-port yang mengandung 2 cabang
yang tak saling berhubungan
•Tegangan / arus port pada port berbeda tidak terkait satu sama
lain, tetapi disebut coupled
•Sehingga rangkaian yang mengandung 2-port / multi-port
seringkali memiliki grafik rangkaian tak terhubung.
•Gunakan suatu cabang k untuk menghubungkannya, sehingga
diperoleh hinged-graph sbb:
Grounded 2-port
•Bila ada hubungan bersama antara node 1’ dan node 2’ .
•Grounded tidak harus selalu bertegangan nol, tetapi elemen 3-
terminal dengan node datum nya = node bersama.
•Grafik elemennya : 2 cabang yang bersatu pada node bersama.
•Secara umum: elemen n-terminal dapat dipandang sebagai
grounded (n-1) port bila node datumnya ditentukan.
Cut Sets dan KCL
Untuk suatu digraph terhubung G, suatu set cabang b dari G disebut
suatu cut set, jika dan hanya jika:
(a) Penghilangan semua cabang dari cut set menghasilkan suatu
digraph terputus.
(b) Apabila setiap cabang dari cut set dibiarkan apa adanya, maka
digraph tetap terhubung.
Cut sets:
b1 = {1, 3}
b2 = {4, 5, 6}
b3 = {4, 5, 7}
(k : cabang k)
KCL (Cut Set Law)
Untuk semua rangkaian lumped, untuk semua waktu t, jumlah aljabar
arus-arus yang terkait dengan setiap cut set adalah nol.
Contoh:
KCL untuk cut set b = {1, 2, 3} adalah: i1(t) + i2(t) – i3(t) = 0
3 bentuk KCL:
FORMULASI MATRIKS HUKUM KIRCHHOFF
Persamaan Independen Linear
•Ambil set m persamaan aljabar linear dalam m anu.
Untuk j = 1,2, …, m:
dengan jk = bilangan nyata / kompleks
•m persamaan tsb disebut linearly dependent, jika & hanya jika ada
konstanta k1, k2, …, km yang tak semuanya nol, sehingga
•Set m persamaan aljabar linear fj(x1, x2, …, xn) disebut linearly
independent jika dan hanya jika dia bukan linearly dependent.
Contoh:
Set persamaan dengan m = 3 dan n =4 sbb:
x1 - x2 + x3 + 3x4 = 0
2x1 + 3x2 - x3 - 4x4 = 0
-4x1 - 11x2 + 5x3 + 18x4 = 0
Dapat dihitung bahwa ada set konstanta k1 =2, k2 =-3 dan k3 = -1 yang
memenuhi persamaan diatas: set persamaan tsb linearly dependent.
Persamaan KCL Independen
•Berapa banyak persamaan KCL yang linearly independent dan
lengkap: melalui matriks incidence Aa dari digraph ybs.
Secara umum: Digraph G dengan n node dan b cabang dan tak memiliki
self-loop, maka matriks Aa ditentukan sbb:
•Untuk i = 1, 2, …, n dan k = 1, 2, …, b, maka
dan Ai=0
dengan i = (i1, i2, … , ib)T = vektor arus cabang.
Sifat Independen Persamaan KCL
Untuk setiap digraph terhubung G dengan n node, persamaan KCL
untuk (n-1) node tersebut akan membentuk set (n-1) persamaan linear
independen.
Persamaan KVL Independen
•Gunakan ARD dan pilih node 4 = ref:
Dalam bentuk matriks:v=Me
Dengan: v = (v1, v2, …, vb)T = vektor tegangan cabang
e = (e1, e2, …, en-1)T = vektor tegangan node (terhadap ref)
M = matriks b x (n-1)
Untuk k = 1, 2, …, b dan i = 1, 2, …, n-1, maka
Bila persamaan untuk mki dan persamaan untuk aik dibandingkan, maka
diperoleh 2 persamaan:
M=A pangkat T v=A pangkat T dikali e
Untuk digraph terhubung G, matriks A memiliki (n-1) baris independen
linear.
TEOREMA TELLEGEN
Pendahuluan
Pilih sembarang i4, i5, dan i6 dan
hitung i1, i2, dan i3 agar KCL dipenuhi:
Ambil sembarang:
i1 = 1, i2 = 2, i3 = 3,
diperoleh:
i4 = -3, i5 = -1, i6 = 4,
Pilih sembarang v4, v5, dan v6 dan hitung v1, v2, dan v3 agar KVL
dipenuhi:
V4=4 V5=5 V6=6
Diperoleh : V1=-2 V2=-1 V3=-1
Terlihat bahwa: vi=0
Teorema Tellegen
Ambil sembarang digraph G dengan b cabang. Gunakan ARD:
i = (i1, i2, …, ib)T :
set arus cabang sembarang yang memenuhi KCL untuk G
v = (v1, v2, …, vb)T
set tegangan cabang sembarang yang memenuhi KVL untuk G,
maka: atau vi=0
Catatan:
Bila untuk digraph terhubung G diperoleh v’ dan v” yang memenuhi
KVL dan diperoleh i’ dan i” yang memenuhi KCL, maka menurut
teorema Tellegen:
v’ T i’ = 0 v’ T i” = 0 v” T i’ = 0
v” T i” = 0
Terlihat bahwa teorema Tellegen hanya terkait pada sifat interkoneksi
rangkaian atau topologi digraph.
Teorema Tellegen & Konservasi Energi
Ambil rangkaian terhubung yang bersifat lumped.
Tegangan-tegangan cabangnya vk(t) memenuhi KVL
dan
arus-arus cabangnya ik(t) memenuhi KCL,
dengan k = 1, 2, …, b
Menurut Teorema Tellegen:
Dengan mengacu pada ARD, maka
vk(t). ik(t) = daya (laju energi) yang diberikan pada waktu t ke cabang k
oleh sisa rangkaian,
sehingga untuk rangkaian lumped konservasi energi adalah konsekuensi
dari hukum Kirchhoff.
Teorema Tellegen jauh lebih umum daripada konservasi energi.
Latihan:
Untuk suatu rangkaian sembarang dengan digraph G, v(t) memenuhi
KVL untuk G dan i(t) memenuhi KCL untuk G pada semua t 0, buktikan
untuk semua t1, t2 0:
Hukum Kirchhoff & Teorema Tellegen
Sifat-sifat:
1. Bila untuk semua tegangan v memenuhi KVL: vTi = 0, maka arus i
memenuhi KCL
2. Bila untuk semua arus i memenuhi KCL: vTi = 0, maka tegangan v
memenuhi KVL
rangkaian.
•Rangkaian Elektrik ada dimana-mana: PC, TV, Hi-Fi, jaringan
listrik, sistem telekomunikasi antar benua dan seterusnya.
•Rangkaian-rangkaian tersebut berbeda sifat dan cara
menganalisis dan mendesainnya.
•Tujuan kuliah ini memberikan pengantar teori rangkaian yang
cukup mendalam yang tak hanya dibebani pada rangkaian linear
dan rangkaian pasif saja.
•Teori rangkaian merupakan dasar untuk seluruh bidang teknik
Elektro.
•Rangkaian (fisik) elektrik : hubungan (secara fisik) antara divaisdivais
elektrik (resistor, koil, kondensator, dioda, transistor, Op
Amp, batere, transformer, motor, generator dan seterusnya).
•Tujuan teori rangkaian : menduga perilaku elektrik rangkaianrangkaian
fisik untuk memperbaiki desainnya, menekan biaya
dan memperbaiki unjuk kerjanya pada semua kondisi operasi
(pengaruh suhu, umur, kemungkinan terjadinya kondisi salah).
•Domain aplikasi teori rangkaian sangat luas : VLSI yang
berukuran kecil hingga jaringan telekomunikasi dan jaringan
listrik yang menghubungkan antar benua.
Tegangan: micro volt Mega volt
Arus : femto ampere (10-15 A) Mega ampere
Frekuensi : 0 (dc) Puluhan GHz
Daya : 10-14 W MW.
•Pembahasan teori rangkaian hanya pada perilaku elektrik suatu
rangkaian :
•Menduga dan menjelaskan (prediksi kuantitatif dan kualitatif )
tegangan dan arus pada terminal-terminal yang diukur pada
terminal divais- divais yang bersangkutan.
•Asumsi dalam analisis : lumped circuits (dimensi fisiknya
cukup kecil sehingga pada aplikasinya gelombang
elektromagnetik dapat dipropagasikan sepanjang sirkuit
seketika).
•Pada kondisi ini : pada seluruh rangkaian arus i(t) yang
melalui terminal divais manapun dan beda tegangan v(t) pada
setiap pasang terminal, pada setiap saat t terdefinisi dengan
baik.
Contoh 1 : Chip
Ambil waktu sinyal terpendek 0,1 nanodetik dan jarak terjauh
1mm.
Kecepatan gelombang elektromagnetik = kecepatan cahaya: 3x
108 m/s.
Waktu yang dibutuhakan untuk jarak 1 mm = 10-3 m / 3 x 108
m/s = 0,0033 ns. Sehingga waktu propagasi dapat diabaikan.
Rangkaian dapat dianggap bersifat lumped.
Contoh 2: Rangkaian Audio
Ambil fekuensi tertinggi f = 25 kHz, yang merupakan panjang
gelombang = c / f = 12 km. Sehingga panjang rangkaian
dapat diabaikan: rangkaian dapat dianggap bersifat lumped.
PEMODELAN DAN ELEMEN RANGKAIAN
•Divais elektrik : objek fisik di lab / pabrik
•Rangkaian fisik : diperoleh dengan menghubungkan (wire)
divais-divais elektrik.
•Model ideal : resistor : v = iR
induktor : v = L di/dt
kapasitor : i = C dv/dt
disebut elemen-elemen (pasif) rangkaian.
•Pemodelan adalah pendekatan : tergantung pada aplikasi atau
masalah yang dihadapi.
•Rangkaian : interkoneksi elemen-elemen rangkaian.
Dalam pembahasan selanjutnya digunakan rangkaian, bukan rangkaian
fisik
Node :
Penghubung dalam suatu rangkaian dimana terminal-terminal
terhubung semua.
Suatu terminal terpisah dari suatu elemen rangkaian yang tak
terhubung.
HUKUM KIRCHHOFF
Arah Referensi
Perlu referensi arah arus/polaritas tegangan dalam rangkaian karena
umumnya hal tersebut tak dapat diketahui lebih dulu.
Hukum Tegangan Kirchhoff
Untuk rangkaian yang bersifat lumped dan terhubung, maka untuk
semua pilihan node referensi, untuk semua waktu t, untuk semua
pasangan node k dan j, maka :
vk-j(t) = ek(t) – ej(t)
catatan
vj-k(t) = ej(t) – ek(t) = -vk-j
Contoh
v1-5 = e1 – e5 = e1
v1-2 = e1 – e2
v2-3 = e2 – e3
v3-4 = e3 – e4
v4-5 = e4 – e5 = e4
v5-2 = e5 – e2 = - e2
Ingat:
v4-5 +v2-4 + v5-2 = 0
Closed node sequence: 2-4-5-2; 2-3-5-2: V = 0
Loop: 1-2-3-4-5-1 : V = 0
KVL dalam Urutan Node Tertutup
Dalam semua rangkaian yang bersifat lumped dan terhubung, untuk
semua urutan node tertutup, untuk semua waktu t, jumlah aljabar dari
semua tegangan node-ke-node sepanjang node tertutup tersebut adalah
nol.
Hukum Arus Kirchhoff
Untuk semua rangkaian lumped, untuk semua bidang Gaussian,
untuk semua waktu t, jumlah aljabar semua arus yang meninggalkan
bidang Gaussian pada waktu t adalah nol.
S1 (node = kasus khusus bidang Gaussian):
i1(t) + i2(t) = 0 untuk semua t
S2 : -i1(t) + i12(t) = 0 atau i1(t) = i12(t)
S3 : i1(t) + i4(t) + i5(t) + i6(t) = 0
S4 : i3(t) + i11(t) + i8(t) + i9(t) – i6(t) – i5(t) – i4(t) = 0
S5 : i11(t) – i10(t) – i4(t) - i7(t) = 0
S6 : -i12(t) – i3(t) – i11(t) - i8(t) – i9(t) = 0
KCL untuk node
Untuk semua rangkaian lumped, untuk semua waktu t, jumlah aljabar
arus meninggalkan suatu node adalah nol.
REPRESENTASI GRAFIK RANGKAIAN
•Sifat interkoneksi rangkaian lebih mudah digambarkan secara
grafik
•Grafik tetap mempertahankan sifat-sifat interkoneksi rangkaian
tetapi meniadakan info tentang elemen-elemen rangkaian,
sehingga KVL dan KCL tetap berlalu.
•Suatu grafik G ditentukan oleh sekumpulan node {1,2, …, n } dan
sekumpulan cabang {1, 2, … n}
•Digraph (directed graph) bila ada arah pada percabangan (arah
referensi untuk arus)
Jumlah node
Jumlah node : n = 5
Jumlah cabang: b = 7
Elemen Grafik
Elemen 2-Terminal
Associated reference direction (ARD):
Arus keluar dari terminal positif atau arah panah menunjukkan arah dari
tanda + ke tanda -.
i = arus cabang elemen 2 terminal
v = tegangan (cabang) elemen 2 terminal
v(t) > 0 iff v1(t) > v2(t)
i(t) > 0 iff arus masuk melalui node
dan meninggalkannya melalui node .
Perhitungan daya untuk ARD :
p(t) = v(t) . i(t)
(daya yang diberikan oleh sisa rangkaian pada waktu t pada elemen 2-
terminal ke elemen yang terhubung padanya)
Elemen 3-Terminal
•3 arus node
•3 tegangan •2 arus cabang
•2 tegangan cabang
KVL : v1-3 + v3-2 + v2-1 = 0
Pilih : node referensi, sehingga ada 2 tegangan yang direferensikan
secara independent :
v1 = v1-3 dan v2 = v2-3
KCL :i1 + i2 + i3 = 0, sehingga
i1 dan i2 arus independent
Representasi Digraph Lainnya
Untuk : node referensi Untuk node referensi
Elemen n-Terminal
•Ada (n – 1 ) arus cabang
•Ada (n – 1 ) tegangan cabang
Daya yang diberikan pada elemen dari luar pada waktu = t :
Grafik Rangkaian
Grafik rangkaian (Diagraph) diperoleh dengan mengganti setiap elemen
circuit dengan elemen grafiknya.
Catatan : konversi digraph ke circuit memerlukan info tentang nodenode
milik elemen 3-node.
•Jumlah cabang diagraph = 7 + (4-1) = 10
•Gunakan KVL untuk menghitung tegangan cabang vk melalui
tegangan node ei (terhadap ref):
v1 = e1 v2 = e1 – e2 v3 = e3 v4 = e2
v5 = e2 – e4 v6 = e2 – e4 v7 = e4 v8 = e4
v9 = e4 v10 = e3
(Tuliskan dalam bentuk matriks)
•Gunakan KCL pada node 1 hingga node 4:
i1 + i2 = 0
- i2 + i4 + i5 + i6 = 0
i3 + i10 = 0
- i5 - i6 + i7 + i8 + i9 = 0
(Tuliskan dalam bentuk matriks)
•Bila cabang 3 diganti short circuit, maka node 3 menyatu dengan
node 5, sehingga timbul self loop : (1 cabang dan 1 node).
2-port, Multiport & Hinged Graphs
Elemen 2-Port :
•Elemen rangkaian atau rangkaian dengan 2 pasang terminal
yang dapat diakses
•input port dan output port
•dapat memiliki banyak elemen circuit
tegangan yang diperhatikan hanya v1 (tegangan port pada port 1)
dan v2 (tegangan port pada port 2).
KCL pada S1 dan S2 diperoleh i1 = i1
’ dan i2 = i2
’ sehingga hanya ada
2 arus i1 (arus port pada port 1) dan i2 (arus port pada port 2)
Daya yang masuk pada port k pada t = t adalah v (t) i (t) k k
Daya yang diberikan pada elemen 2 port oleh sisa rangkaian adalah
v1(t) i1(t) v2(t)i2(t)
Elemen 2- terminal dapat dianggap sebagai 1-port, sehingga
representasi digraph dari 1-port ke 2-port dapat menggunakan 2 cabang
dan 4 node untuk elemen grafiknya sbb:
Tegangan port v1 dan v2 =
tegangan cabang
Arus port i1 dan i2 = arus cabang
Elemen graph dari 2 port
Elemen Multi-Port
Analogi dengan 2-port, maka elemen multi-port dapat diperoleh
Contoh: 3-winding transformer (3-port)
Grafik Elemennya:
Ada 3 cabang dan 6 node:
Ada 3 tegangan port = tegangan cabang
Ada 3 arus port = arus cabang
Hinged Graph
•Grafik elemen dari suatu 2-port yang mengandung 2 cabang
yang tak saling berhubungan
•Tegangan / arus port pada port berbeda tidak terkait satu sama
lain, tetapi disebut coupled
•Sehingga rangkaian yang mengandung 2-port / multi-port
seringkali memiliki grafik rangkaian tak terhubung.
•Gunakan suatu cabang k untuk menghubungkannya, sehingga
diperoleh hinged-graph sbb:
Grounded 2-port
•Bila ada hubungan bersama antara node 1’ dan node 2’ .
•Grounded tidak harus selalu bertegangan nol, tetapi elemen 3-
terminal dengan node datum nya = node bersama.
•Grafik elemennya : 2 cabang yang bersatu pada node bersama.
•Secara umum: elemen n-terminal dapat dipandang sebagai
grounded (n-1) port bila node datumnya ditentukan.
Cut Sets dan KCL
Untuk suatu digraph terhubung G, suatu set cabang b dari G disebut
suatu cut set, jika dan hanya jika:
(a) Penghilangan semua cabang dari cut set menghasilkan suatu
digraph terputus.
(b) Apabila setiap cabang dari cut set dibiarkan apa adanya, maka
digraph tetap terhubung.
Cut sets:
b1 = {1, 3}
b2 = {4, 5, 6}
b3 = {4, 5, 7}
(k : cabang k)
KCL (Cut Set Law)
Untuk semua rangkaian lumped, untuk semua waktu t, jumlah aljabar
arus-arus yang terkait dengan setiap cut set adalah nol.
Contoh:
KCL untuk cut set b = {1, 2, 3} adalah: i1(t) + i2(t) – i3(t) = 0
3 bentuk KCL:
FORMULASI MATRIKS HUKUM KIRCHHOFF
Persamaan Independen Linear
•Ambil set m persamaan aljabar linear dalam m anu.
Untuk j = 1,2, …, m:
dengan jk = bilangan nyata / kompleks
•m persamaan tsb disebut linearly dependent, jika & hanya jika ada
konstanta k1, k2, …, km yang tak semuanya nol, sehingga
•Set m persamaan aljabar linear fj(x1, x2, …, xn) disebut linearly
independent jika dan hanya jika dia bukan linearly dependent.
Contoh:
Set persamaan dengan m = 3 dan n =4 sbb:
x1 - x2 + x3 + 3x4 = 0
2x1 + 3x2 - x3 - 4x4 = 0
-4x1 - 11x2 + 5x3 + 18x4 = 0
Dapat dihitung bahwa ada set konstanta k1 =2, k2 =-3 dan k3 = -1 yang
memenuhi persamaan diatas: set persamaan tsb linearly dependent.
Persamaan KCL Independen
•Berapa banyak persamaan KCL yang linearly independent dan
lengkap: melalui matriks incidence Aa dari digraph ybs.
Secara umum: Digraph G dengan n node dan b cabang dan tak memiliki
self-loop, maka matriks Aa ditentukan sbb:
•Untuk i = 1, 2, …, n dan k = 1, 2, …, b, maka
dan Ai=0
dengan i = (i1, i2, … , ib)T = vektor arus cabang.
Sifat Independen Persamaan KCL
Untuk setiap digraph terhubung G dengan n node, persamaan KCL
untuk (n-1) node tersebut akan membentuk set (n-1) persamaan linear
independen.
Persamaan KVL Independen
•Gunakan ARD dan pilih node 4 = ref:
Dalam bentuk matriks:v=Me
Dengan: v = (v1, v2, …, vb)T = vektor tegangan cabang
e = (e1, e2, …, en-1)T = vektor tegangan node (terhadap ref)
M = matriks b x (n-1)
Untuk k = 1, 2, …, b dan i = 1, 2, …, n-1, maka
Bila persamaan untuk mki dan persamaan untuk aik dibandingkan, maka
diperoleh 2 persamaan:
M=A pangkat T v=A pangkat T dikali e
Untuk digraph terhubung G, matriks A memiliki (n-1) baris independen
linear.
TEOREMA TELLEGEN
Pendahuluan
Pilih sembarang i4, i5, dan i6 dan
hitung i1, i2, dan i3 agar KCL dipenuhi:
Ambil sembarang:
i1 = 1, i2 = 2, i3 = 3,
diperoleh:
i4 = -3, i5 = -1, i6 = 4,
Pilih sembarang v4, v5, dan v6 dan hitung v1, v2, dan v3 agar KVL
dipenuhi:
V4=4 V5=5 V6=6
Diperoleh : V1=-2 V2=-1 V3=-1
Terlihat bahwa: vi=0
Teorema Tellegen
Ambil sembarang digraph G dengan b cabang. Gunakan ARD:
i = (i1, i2, …, ib)T :
set arus cabang sembarang yang memenuhi KCL untuk G
v = (v1, v2, …, vb)T
set tegangan cabang sembarang yang memenuhi KVL untuk G,
maka: atau vi=0
Catatan:
Bila untuk digraph terhubung G diperoleh v’ dan v” yang memenuhi
KVL dan diperoleh i’ dan i” yang memenuhi KCL, maka menurut
teorema Tellegen:
v’ T i’ = 0 v’ T i” = 0 v” T i’ = 0
v” T i” = 0
Terlihat bahwa teorema Tellegen hanya terkait pada sifat interkoneksi
rangkaian atau topologi digraph.
Teorema Tellegen & Konservasi Energi
Ambil rangkaian terhubung yang bersifat lumped.
Tegangan-tegangan cabangnya vk(t) memenuhi KVL
dan
arus-arus cabangnya ik(t) memenuhi KCL,
dengan k = 1, 2, …, b
Menurut Teorema Tellegen:
Dengan mengacu pada ARD, maka
vk(t). ik(t) = daya (laju energi) yang diberikan pada waktu t ke cabang k
oleh sisa rangkaian,
sehingga untuk rangkaian lumped konservasi energi adalah konsekuensi
dari hukum Kirchhoff.
Teorema Tellegen jauh lebih umum daripada konservasi energi.
Latihan:
Untuk suatu rangkaian sembarang dengan digraph G, v(t) memenuhi
KVL untuk G dan i(t) memenuhi KCL untuk G pada semua t 0, buktikan
untuk semua t1, t2 0:
Hukum Kirchhoff & Teorema Tellegen
Sifat-sifat:
1. Bila untuk semua tegangan v memenuhi KVL: vTi = 0, maka arus i
memenuhi KCL
2. Bila untuk semua arus i memenuhi KCL: vTi = 0, maka tegangan v
memenuhi KVL
Sistem-Sistem Bilangan
Sistem-Sistem Bilangan secara matematis:
Sistem Radiks Himpunan/elemen Digit Contoh
Desimal r=10 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 25510
Biner r=2 {0,1} 11111111
Oktal r= 8 {0,1,2,3,4,5,6,7} 377
Heksa
desimal r=16 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F} FF
Contoh-2:
desimal:
5185.6810 = 5x103 + 1x102 + 8x101 + 5x100 + 6 x 10-1 + 8 x 10-2
= 5x1000 + 1x100 + 8x10 + 5 x 1 + 6x.1 + 8x.01
biner (radiks=2, digit={0, 1})
100112 = 1 ´ 16 + 0 ´ 8 + 0 ´ 4 + 1 ´ 2 + 1 ´ 1 = 1910
| |
MSB LSB
101.0012 = 1x4 + 0x2 + 1x1 + 0x.5 + 0x.25 + 1x.125 = 5.12510
Sistem-Sistem Bilangan Umum
Desimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Heksa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Biner 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011
1100 1101 1110 1111
Konversi Radiks-r ke desimal
Ekspansikan dgn menggunakan definisi berikut Contoh-2:
1101.1012 = 1´23 + 1´22 + 1´20 + 1´2-1 + 1´2-3
= 8 + 4 + 1 + 0.5 + 0.125 = 13.62510
572.68 = 5´82 + 7´81 + 2´80 + 6´8-1
= 320 + 56 + 16 + 0.75 = 392.7510
2A.816 = 2´161 + 10´160 + 8´16-1
= 32 + 10 + 0.5 = 42.510
132.34 = 1´42 + 3´41 + 2´40 + 3´4-1
= 16 + 12 + 2 + 0.75 = 30.7510
341.245 = 3´52 + 4´51 + 1´50 + 2´5-1 + 4´5-2
= 75 + 20 + 1 + 0.4 + 0.16 = 96.5610
Konversi Desimal ke biner
Konversi bilangan desimal bulat: Gunakan pembagian dgn 2 secara suksesif sampai sisanya = 0. Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi least significant bit (LSB) dan sisa yang terakhir menjadi most significant bit (MSB).
Contoh: Konersi 17910 ke biner:
179 / 2 = 89 sisa 1 (LSB)
/ 2 = 44 sisa 1
/ 2 = 22 sisa 0
/ 2 = 11 sisa 0
/ 2 = 5 sisa 1
/ 2 = 2 sisa 1
/ 2 = 1 sisa 0
/ 2 = 0 sisa 1 (MSB)
Þ 17910 = 101100112
Konversi desimal ke biner – lanj.
Konversi fraksi-fraksi desimal ke biner: kalikan dengan 2 secara berulang sampai fraksi hasil perkalian = 0 (atau sampai jumlah penempatan biner yang diharapkan). Digit kesleuruhan hasil perkalian memrupakan jawaban, dengan yang pertama à MSB, dan yang terakhir àLSB.
Contoh: Konversi 0.312510 ke biner
Digit hasil
.3125 ´ 2 = 0.625 0 (MSB)
.625 ´ 2 = 1.25 1
.25 ´ 2 = 0.50 0
.5 ´ 2 = 1.0 1 (LSB)
Þ 0.312510 = .01012
Penjumlahan aritmatika Biner
Mirip spt penjumlahan bil. Desimal, dua bil. biner dijumlahkan melalui penambahan setiap pasangan bit-bit bersamaan dengan propagasi carry.
Pengurangan aritmatika Biner
Dua bil. Biner dikurankan melalui pengurangan setiap pasangan bit-bit berikut suatu borrowing, jika diperlukan.
Representasi-2 bilangan biner negatif
Besaran bertanda (Signed-magnitude)
Gunakan MSB sbg bit tanda (sign bit), dan sisa sbg besran (magnitude)
Contoh: 111111112 = -12710
Jangkauan mulai -2(n-1)+1 s/d 2(n-1)–1 u/ sebuah bil. biner n-bit
Sign bit tidak digunakan u/ operasi aritmatika
Komplemen satu (Ones’-complement)
MSB sbg sign bit; komplemenkan seluruh bit-2 u/ memperoleh bil. negatif
Contoh: 11910 = 01110111, -11910 = 10001000
Jangkauanya sama spt representasi “signed-magnitude”
Sign bit akan digunakan dalam operasi aritmatika
Komplemen dua (Two’s-complement)
MSB sbg sign bit; komplemenkan seluruh bit-2 dan tambah 1 u/ memperoleh bilangan negatif
Conoth: -11910 = 10001001
Jangkauan mulai dari -2(n-1) s/d 2(n-1)–1 u/ sebuah bil biner n-bit
`Sangat baik’ u/ operasi aritmatika
Perbandingan dari representasi yang berbeda
Sifat-2 penting (Key properties) dari 2’s-complement
Represntasi nol (zero) yang unikn
Signed-magnitude dan 1’s-complement memiliki dua nol
dapat merepresentasikan satu bil. ekstra: -2(n-1) s/d 2(n-1)–1
Disamping operasi `add-one’ dlm penegatifan sebuah bil., komplemen dari komplemen sebuah bilangan adalah bilangan asal (original number.
Nilai bil. 2’- complement n-bit dinyatakan sbb.:
D 2’s-complement = dn-1´-2 n-1 + dn-2´2n-2 … d1´21 + d0
Contoh: 10112 = 1´-23 + 0´22 + 1´21 + 1 = -8 + 0 + 2 + 1 = -5
Ekstensi tanda (Sign-extension):
Sebuah bil 2’s-complement n=bit dpt dikonversi menjadi bil m-bit dimana m>n melalui penambahan m-n kopi dr sign bit ke kiri bilangan.
Contoh: 1011 4-bit 2’s-complement = 11111011 8-bit 2’s-complement – terbukti !!
Penjumlahan dan pengurangan bil.-2 2’s complement seperti halnya bilangan tak bertanda, namun melalui aturan deteksi overflow yang sederhana
Penjumlahan/pengurangan 2’s complement
Operasi-2 yang sama baik u/ bil. positif maupun negatif
`Penjumlahan’ contoh-2:
4 0100 -2 1110
+ -7 1001 + -6 1010
-3 1101 -8 1 1000
Pengurangan dilakukan dgn penambahan 2’s complement dari bil.
Mirip spt bil. desimal
Implementasi sederhana dgn menggunakan rang. digital – ?
invert bit-bit dan tambahkan sebuah Cin=1 menjadi bit LSA
Overflow: Hasil melebihi range -2(n-1) s/d 2(n-1)–1
terjadi jk signs (MSBs) dari kedua operand sama dan sign hasil berbeda
Dpt juga dideteksi dgn membandingkan Cin dan Cout dari sign bi
Implementasi à gunakan XOR.
Penjumlahan/pengurangan One’s-complement
Jika terdapat sebuah “carry out’ dari posisi sign position, tambah 1
Contoh.
-2 1101
+ -5 1010
-7 10111
+ 1
1000
Perkalian Biner
Perkalian dilakukan melalui penambahan sebuah list dari shifted multiplicands menurut digit pengali (multiplier)
Contoh: (tak bertanda (unsigned))
11 1 0 1 1 multiplicand (4 bits)
X 13 X 1 1 0 1 multiplier (4 bits)
-------- -------------------
33 1 0 1 1
11 0 0 0 0
______ 1 0 1 1
143 1 0 1 1
---------------------
1 0 0 0 1 1 1 1 Hasil kali (8 bits)
Perkalian Biner – lanj.
Disamping metode sebelumnya, kita dapat menambahkan setiap shifted multiplicand dengan sebuah “partial product”. Contoh sbelumnya menjadi sbb/:
11 1011 multiplicand
x 13 x 1101 multiplier
143 0000 partial product
1011 shifted multiplicand
01011 partial product
0000 shifted multiplicand
001011 partial product
1011 shifted multiplicand
0110111 partial product
1011 shifted multiplicand
10001111 product
Perkalian 2’s-complement
Sebuah urutan penjumlahan two’s-complement dari shifted multiplicands kecuali untuk pada step terakhir dimana shifted multiplicand sesuai dgn MSB harus di- “2’s complementkan (negatifkan dan tambah 1).
Sebelum menambahkan sebuah shifted multiplicand dgn partial product, sebuah bit tambahan ditambahkan ke kiri dari partial product dgn menggunkan sign extension.
Contoh:
- 5 1011 multiplicand
x - 3 x 1101 multiplier
15 00000 partial product
11011 shifted multiplicand
111011 partial product
00000 shifted multiplicand
1111011 partial product
11011 shifted multiplicand
11100111 partial product
00101 shifted and 2’s comp.
00001111 product
Sistem Radiks Himpunan/elemen Digit Contoh
Desimal r=10 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 25510
Biner r=2 {0,1} 11111111
Oktal r= 8 {0,1,2,3,4,5,6,7} 377
Heksa
desimal r=16 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F} FF
Contoh-2:
desimal:
5185.6810 = 5x103 + 1x102 + 8x101 + 5x100 + 6 x 10-1 + 8 x 10-2
= 5x1000 + 1x100 + 8x10 + 5 x 1 + 6x.1 + 8x.01
biner (radiks=2, digit={0, 1})
100112 = 1 ´ 16 + 0 ´ 8 + 0 ´ 4 + 1 ´ 2 + 1 ´ 1 = 1910
| |
MSB LSB
101.0012 = 1x4 + 0x2 + 1x1 + 0x.5 + 0x.25 + 1x.125 = 5.12510
Sistem-Sistem Bilangan Umum
Desimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Heksa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Biner 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011
1100 1101 1110 1111
Konversi Radiks-r ke desimal
Ekspansikan dgn menggunakan definisi berikut Contoh-2:
1101.1012 = 1´23 + 1´22 + 1´20 + 1´2-1 + 1´2-3
= 8 + 4 + 1 + 0.5 + 0.125 = 13.62510
572.68 = 5´82 + 7´81 + 2´80 + 6´8-1
= 320 + 56 + 16 + 0.75 = 392.7510
2A.816 = 2´161 + 10´160 + 8´16-1
= 32 + 10 + 0.5 = 42.510
132.34 = 1´42 + 3´41 + 2´40 + 3´4-1
= 16 + 12 + 2 + 0.75 = 30.7510
341.245 = 3´52 + 4´51 + 1´50 + 2´5-1 + 4´5-2
= 75 + 20 + 1 + 0.4 + 0.16 = 96.5610
Konversi Desimal ke biner
Konversi bilangan desimal bulat: Gunakan pembagian dgn 2 secara suksesif sampai sisanya = 0. Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa yang pertama akan menjadi least significant bit (LSB) dan sisa yang terakhir menjadi most significant bit (MSB).
Contoh: Konersi 17910 ke biner:
179 / 2 = 89 sisa 1 (LSB)
/ 2 = 44 sisa 1
/ 2 = 22 sisa 0
/ 2 = 11 sisa 0
/ 2 = 5 sisa 1
/ 2 = 2 sisa 1
/ 2 = 1 sisa 0
/ 2 = 0 sisa 1 (MSB)
Þ 17910 = 101100112
Konversi desimal ke biner – lanj.
Konversi fraksi-fraksi desimal ke biner: kalikan dengan 2 secara berulang sampai fraksi hasil perkalian = 0 (atau sampai jumlah penempatan biner yang diharapkan). Digit kesleuruhan hasil perkalian memrupakan jawaban, dengan yang pertama à MSB, dan yang terakhir àLSB.
Contoh: Konversi 0.312510 ke biner
Digit hasil
.3125 ´ 2 = 0.625 0 (MSB)
.625 ´ 2 = 1.25 1
.25 ´ 2 = 0.50 0
.5 ´ 2 = 1.0 1 (LSB)
Þ 0.312510 = .01012
Penjumlahan aritmatika Biner
Mirip spt penjumlahan bil. Desimal, dua bil. biner dijumlahkan melalui penambahan setiap pasangan bit-bit bersamaan dengan propagasi carry.
Pengurangan aritmatika Biner
Dua bil. Biner dikurankan melalui pengurangan setiap pasangan bit-bit berikut suatu borrowing, jika diperlukan.
Representasi-2 bilangan biner negatif
Besaran bertanda (Signed-magnitude)
Gunakan MSB sbg bit tanda (sign bit), dan sisa sbg besran (magnitude)
Contoh: 111111112 = -12710
Jangkauan mulai -2(n-1)+1 s/d 2(n-1)–1 u/ sebuah bil. biner n-bit
Sign bit tidak digunakan u/ operasi aritmatika
Komplemen satu (Ones’-complement)
MSB sbg sign bit; komplemenkan seluruh bit-2 u/ memperoleh bil. negatif
Contoh: 11910 = 01110111, -11910 = 10001000
Jangkauanya sama spt representasi “signed-magnitude”
Sign bit akan digunakan dalam operasi aritmatika
Komplemen dua (Two’s-complement)
MSB sbg sign bit; komplemenkan seluruh bit-2 dan tambah 1 u/ memperoleh bilangan negatif
Conoth: -11910 = 10001001
Jangkauan mulai dari -2(n-1) s/d 2(n-1)–1 u/ sebuah bil biner n-bit
`Sangat baik’ u/ operasi aritmatika
Perbandingan dari representasi yang berbeda
Sifat-2 penting (Key properties) dari 2’s-complement
Represntasi nol (zero) yang unikn
Signed-magnitude dan 1’s-complement memiliki dua nol
dapat merepresentasikan satu bil. ekstra: -2(n-1) s/d 2(n-1)–1
Disamping operasi `add-one’ dlm penegatifan sebuah bil., komplemen dari komplemen sebuah bilangan adalah bilangan asal (original number.
Nilai bil. 2’- complement n-bit dinyatakan sbb.:
D 2’s-complement = dn-1´-2 n-1 + dn-2´2n-2 … d1´21 + d0
Contoh: 10112 = 1´-23 + 0´22 + 1´21 + 1 = -8 + 0 + 2 + 1 = -5
Ekstensi tanda (Sign-extension):
Sebuah bil 2’s-complement n=bit dpt dikonversi menjadi bil m-bit dimana m>n melalui penambahan m-n kopi dr sign bit ke kiri bilangan.
Contoh: 1011 4-bit 2’s-complement = 11111011 8-bit 2’s-complement – terbukti !!
Penjumlahan dan pengurangan bil.-2 2’s complement seperti halnya bilangan tak bertanda, namun melalui aturan deteksi overflow yang sederhana
Penjumlahan/pengurangan 2’s complement
Operasi-2 yang sama baik u/ bil. positif maupun negatif
`Penjumlahan’ contoh-2:
4 0100 -2 1110
+ -7 1001 + -6 1010
-3 1101 -8 1 1000
Pengurangan dilakukan dgn penambahan 2’s complement dari bil.
Mirip spt bil. desimal
Implementasi sederhana dgn menggunakan rang. digital – ?
invert bit-bit dan tambahkan sebuah Cin=1 menjadi bit LSA
Overflow: Hasil melebihi range -2(n-1) s/d 2(n-1)–1
terjadi jk signs (MSBs) dari kedua operand sama dan sign hasil berbeda
Dpt juga dideteksi dgn membandingkan Cin dan Cout dari sign bi
Implementasi à gunakan XOR.
Penjumlahan/pengurangan One’s-complement
Jika terdapat sebuah “carry out’ dari posisi sign position, tambah 1
Contoh.
-2 1101
+ -5 1010
-7 10111
+ 1
1000
Perkalian Biner
Perkalian dilakukan melalui penambahan sebuah list dari shifted multiplicands menurut digit pengali (multiplier)
Contoh: (tak bertanda (unsigned))
11 1 0 1 1 multiplicand (4 bits)
X 13 X 1 1 0 1 multiplier (4 bits)
-------- -------------------
33 1 0 1 1
11 0 0 0 0
______ 1 0 1 1
143 1 0 1 1
---------------------
1 0 0 0 1 1 1 1 Hasil kali (8 bits)
Perkalian Biner – lanj.
Disamping metode sebelumnya, kita dapat menambahkan setiap shifted multiplicand dengan sebuah “partial product”. Contoh sbelumnya menjadi sbb/:
11 1011 multiplicand
x 13 x 1101 multiplier
143 0000 partial product
1011 shifted multiplicand
01011 partial product
0000 shifted multiplicand
001011 partial product
1011 shifted multiplicand
0110111 partial product
1011 shifted multiplicand
10001111 product
Perkalian 2’s-complement
Sebuah urutan penjumlahan two’s-complement dari shifted multiplicands kecuali untuk pada step terakhir dimana shifted multiplicand sesuai dgn MSB harus di- “2’s complementkan (negatifkan dan tambah 1).
Sebelum menambahkan sebuah shifted multiplicand dgn partial product, sebuah bit tambahan ditambahkan ke kiri dari partial product dgn menggunkan sign extension.
Contoh:
- 5 1011 multiplicand
x - 3 x 1101 multiplier
15 00000 partial product
11011 shifted multiplicand
111011 partial product
00000 shifted multiplicand
1111011 partial product
11011 shifted multiplicand
11100111 partial product
00101 shifted and 2’s comp.
00001111 product
Langganan:
Postingan (Atom)
